大家好，我是jesse，这是我的第一篇个人博客，以一篇经典的论文FM开始吧：

一、问题由来

在计算广告和推荐系统中，CTR预估(click-through rate)是非常重要的一个环节，判断一个商品的是否进行推荐需要根据CTR预估的点击率来进行。传统的逻辑回归模型是一种广义线性模型，非常容易实现大规模实时并行处理，因此在工业界获得了广泛应用，但是线性模型的学习能力有限，不能捕获高阶特征(非线性信息)，而在进行CTR预估时，除了单特征外，往往要对特征进行组合。对于特征组合来说，业界现在通用的做法主要有两大类：FM系列与DNN系列。今天，我们就来分享下FM算法。

二、为什么需要FM

1、特征组合是许多机器学习建模过程中遇到的问题，如果对特征直接建模，很有可能会忽略掉特征与特征之间的关联信息，因此，可以通过构建新的交叉特征这一特征组合方式提高模型的效果。

2、高维的稀疏矩阵是实际工程中常见的问题，并直接会导致计算量过大，特征权值更新缓慢。试想一个10000100的表，每一列都有8种元素，经过one-hot独热编码之后，会产生一个10000800的表。因此表中每行元素只有100个值为1，700个值为0。特征空间急剧变大，以淘宝上的item为例，将item进行one-hot编码以后，样本空间有一个categorical变为了百万维的数值特征，特征空间一下子暴增一百万。所以大厂动不动上亿维度，就是这么来的。

而FM的优势就在于对这两方面问题的处理。首先是特征组合，通过对两两特征组合，引入交叉项特征，提高模型得分；其次是高维灾难，通过引入隐向量（对参数矩阵进行矩阵分解），完成对特征的参数估计。

三、原理及求解

在看FM算法前，我们先回顾一下最常见的线性表达式：

其中W₀为初始权值，或者理解为偏置项，Wᵢ 为每个特征Xᵢ 对应的权值。可以看到，这种线性表达式只描述了每个特征与输出的关系。

FM的表达式如下，可观察到，只是在线性表达式后面加入了新的交叉项特征及对应的权值。

求解过程：　

从上面的式子可以很容易看出，组合部分的特征相关参数共有n(n−1)/2个。但是如第二部分所分析，在数据很稀疏的情况下，满足xi,xj都不为0的情况非常少，这样将导致ωij无法通过训练得出。

为了求出ωij，我们对每一个特征分量xi引入辅助向量Vi=(vi1,vi2,⋯,vik)。然后，利用vivj^T对ωij进行求解：

那么ωij组成的矩阵可以表示为:

这样，FM的表达式就变为了：

可以看到上面这个方程的时间复杂度是 O(kn²) ,但是通过下面的变换，会变成线性的时间复杂度O(kn)。在稀疏的情况下,大部分的x中的元素都是0，我们在计算的时候，只需要进行非0值的计算就可以了。

具体推导过程如下：（重要的化简过程）

四、参数求解

利用梯度下降法，通过求损失函数对特征（输入项）的导数计算出梯度，从而更新权值。设m为样本个数，θ为权值。

每个梯度都可以在O(1)时间内求得，整体的参数更新的时间为O(kn)。

第一篇博客就到此结束啦~ 之后会继续分享计算广告/推荐系统相关的论文和知识。
有关FM或其他ctr预估模型的demo可以在我的github上找到，欢迎大家star~